L'étude est divisée en six parties. La première examine Les origines de la géométrie dans les perceptions et les mouvements. Elle tente de montrer comment se forment les premiers concepts, comment naissent les premières implications évidentes.
La deuxième partie, intitulée Une géométrie naturelle, part des premières implications évidentes issues des actions et perceptions quotidiennes pour arriver `a quelques propriétés non évidentes de géométrie plane. L'exposé tente de montrer qu'une géométrie argumentée sérieusement peut s'appuyer sur des moyens de connaissance tels que des expériences, des perceptions de symétries, des mouvements continus. Il est construit `à l'´ecart de tout contexte familier, pour mieux mettre en évidence la logique propre `a cette géométrie intuitive et informelle.
La troisième partie, intitulée La géométrie en classe `a douze ans, expose dans quels contextes et à travers quelles activités des enseignants du début du secondaire proposent d'´eveiller la curiosité géométrique de leurs élèves, et comment ils les amènent `a construire des éléments de théorie satisfaisant cette curiosité. Cette partie comprend deux chapitres, relatant deux conceptions de cet enseignement, deux façons en somme d'interpréter le programme.
Jusque-là l'´etude est donc consacrée `a l'´emergence de la géométrie, depuis les premières perceptions et intuitions jusqu'au développement des premières argumentations, des premiers raisonnements.
Toute la suite du travail est consacrée `a la présentation de trois fils conducteurs qui nous paraissent susceptibles d'inspirer un enseignement cohérent de la géométrie depuis l'´ecole maternelle jusqu'`a la fin du secondaire. Comme on va le voir, chacun de ces trois fils fait l'objet d'une partie de ce rapport.
Les objets, qu'ils soient plans ou `a trois dimensions, sont souvent peu accessibles `a la perception parce qu'ils sont mal places, vus incomplètement, trop grands, trop petits,... D'o`u le nécessaire va-et-vient entre eux et des représentations de toutes sortes. La quatrième partie propose une vue argumentée des représentations, depuis les plus simples jusqu'`a la perspective centrale, en passant par les développements de solides et les maquettes. Elle montre pourquoi les représentations font partie intégrante de la géométrie.
La cinquième partie explique le développement de la structure linéaire en partant des opérations élémentaires sur les grandeurs et en passant par la notion de mesure, la proportionnalité, les vecteurs et les transformations linéaires. La linéarité´e, contrastée à la non-linéarité, peut - oserait-on dire doit ? - jouer un rôle de fil conducteur dans un enseignement en spirale des mathématiques en général, et particulièrement de la géométrie.
La sixième partie enfin expose le thème de l'orientation depuis l'avant et l'arrière, le dessus et le dessous, la gauche et la droite, en passant par les horloges et les tire-bouchons, jusqu'aux changements de base dans un espace vectoriel.[-]